LA CINTA DE MOEBIUS (1)

August Möbius

Leyendo el interesantísimo libro de Adrián Paenza, Matemática... ¿estás ahí?: episodio 2 (Siglo veintiuno editores. Buenos Aires, 2006. Pág. 168) -libro que recomiendo ampliamente puesto que el autor nos acerca la matemática de una manera amena y sorprendente-, di con algo que roza lo «mágico»: la cinta o banda de Moebius (también suele escribirse Möbius). Esta especie de prodigio fue descubierta en 1858 por August Möbius y Johann Listing, dos matemáticos alemanes.

En esta entrada los invito a que construyamos juntos una cinta de Moebius para que ustedes también se sorprendan.

Para esto vamos a necesitar tres tiras de papel de 30 cm de largo por 3 cm de ancho, como las que muestra la imagen 1.

Imagen 1

Tomemos una de ella, coloquemos un trocito de cinta adhesiva en uno de sus extremos y hagamos un cilindro o una especie de vincha (imagen 2).

Imagen 2

Ahora piensen un poquito (lean las preguntas sin buscar las respuestas más abajo. Vamos, no es muy difícil):

1. ¿Cuántos bordes tiene este cilindro?
2. ¿Cuántas caras o lados?

Seguramente llegaron a la siguiente conclusión:

1. La «vincha» o cilindro tiene dos bordes. Si lo apoyamos sobre una mesa podemos ver un borde superior (pintado de color naranja en la imagen 3) y uno inferior (de color azul).
2. La vincha tiene dos caras. Una interna y otra externa (imagen 4).

Imagen 3

Imagen 4

  

Por favor, recuerden estos dos aspectos.

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Ahora tomemos otra cinta. En esta oportunidad no haremos una vincha sino que procederemos del siguiente modo:

Imagen 5

1. Pinten un punto en el ángulo superior izquierdo y otro en el ángulo inferior derecho (imagen 5).
2.  Tomen la cinta y giren 180º uno de los extremos (imagen 6)
3. Aproximen los extremos. Como verán, los puntos de color naranja quedarán uno al lado del otro, enfrentados (imagen 7).
4. Unan ambos extremos con un trocito de cinta adhesiva (imagen 8).
5. Una vez unido cada extremo de la cinta nos queda armada una banda similar a la que muestra la imagen 9.

Imagen 6

Imagen 7

Imagen 8

 

Cinta de Moebius (Imagen 9)

Como podrán ver, ya no tenemos una vincha sino la curiosa cinta de Moebius. Si uno quiere enderezarla, sin romperla, no puede, ¿verdad?

Juguemos un poco con esta nueva cinta.

Imagen 10

• Tomen un lápiz o una fibra de color (yo voy a usar mi fibrón de color naranja) y, partiendo de uno de los puntos de color comencemos a remarcar todo ese borde (imagen 10).

 ¿Qué observan?

(Vamos, no me hagan trampa. Prueben solos antes de seguir leyendo) 

Bueno, habrán comprobado que salimos de un punto y regresamos al mismo lugar. ¿Y esto que demuestra? Simplemente que la cinta ya no tiene dos bordes, como una vincha, sino... ¡uno solo!

 

 
 Sigamos explorando esta cinta tan particular.

• Tomen nuevamente la banda y coloquen un dedo sobre la misma; por ejemplo, donde hemos colocado la cinta adhesiva y, sin levantar el dedo, recorrámosla (imagen 11).

Imagen 11

 Y ahora, ¿qué notan?

Al igual que en la experiencia anterior, habrán advertido que la cinta tiene sólo un cara.

Sorprendente, ¿no?

¡En una próxima entrada seguiremos explorando las particularidades de la banda de Moebius!